Quand interrompre un jeu devient un problème mathématique
Publié par Kévin Polisano, le 2 avril 2026 1
Comment partager un gain quand un jeu s’arrête avant la fin ? Derrière cette question apparemment simple se cache un problème mathématique vieux de plusieurs siècles. En cherchant une solution juste, des savants comme Pascal et Fermat ont même posé les bases… des probabilités.
Cet article est une version courte d'un billet de blog écrit dans le cadre de la Semaine des mathématiques 2026 sur le thème « Égalités ». Il propose d'aborder les principes de justice et d'équité sous l'angle des mathématiques.
Un match d'échecs interrompu
En 1984, le championnat du monde d’échecs oppose le champion Anatoli Karpov (à gauche sur la photo) au jeune Garry Kasparov (à droite). Le premier à gagner 6 parties remporte le titre. Karpov prend rapidement l’avantage : 5 victoires à 0. Il n’est plus qu’à un point de gagner. Mais Kasparov résiste, puis remonte peu à peu. Après 48 parties — dont 40 nulles — le score est de 5 à 3.
Après plus de cinq mois de compétition intense, la FIDE décide d’interrompre le match sans déclarer de vainqueur, pour des raisons officiellement liées à la santé des joueurs, mais probablement aussi pour des raisons politiques...
Une question se pose alors : comment devrait-on répartir l’argent du prix (1,9 million de francs suisses) ?
Un vieux casse-tête : le problème des partis
Ce problème n’est pas nouveau. Dès le XVe siècle, des mathématiciens se demandent comment partager une mise quand une partie s’arrête en cours de route. On l’appelle le « problème des partis ».
Prenons un exemple simple : deux équipes jouent, il faut atteindre 60 points pour gagner. Mais la partie s’arrête à 50 contre 20. Qui doit recevoir quoi ?
Une solution serait de tout donner à l’équipe en tête. Mais est-ce vraiment juste ?
Luca Pacioli, un mathématicien ami de Léonard de Vinci, propose de partager selon les points déjà marqués. Tartaglia critiqua cette solution et suggéra plutôt que l'écart de gain soit proportionnel à l'écart entre les scores. Mais ces méthodes donnent des résultats très différents… et souvent discutables. Jérôme Cardan se démarqua de ses contemporains en argumentant en faveur d'une répartition de l'enjeu selon les points qu'il reste à marquer.
Alors qui avait raison ?
La résolution d’une telle question est davantage d’ordre judiciaire que rationnel et, de quelque manière qu’on veuille la résoudre, on y trouvera sujet à litiges.
Tartaglia
Le tournant : regarder vers le futur
Au XVIIe siècle, deux grands mathématiciens, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, revisitent le problème avec un regard neuf. Pour eux, il ne faut pas regarder vers le passé mais... se tourner vers le futur ! Autrement dit, ce qui compte, ce n’est pas ce qui a été joué, mais ce qui aurait pu se passer si la partie avait continué.
Une idée simple illustrée avec un jeu de hasard
Imaginons un jeu de pile ou face. Pascal et Fermat s’affrontent, et le premier à atteindre 3 points gagne. Au début du jeu, les deux adversaires misent une somme égale d’argent, disons 32€, et le vainqueur récupère l’ensemble de l’argent mis en jeu, soit 64€. Si la partie est interrompue avant la fin, comment partager l’argent ? Pascal et Fermat proposent une solution : on calcule les chances de victoire de chaque joueur si le jeu continuait. Par exemple, si un joueur est proche de la victoire, il a plus de chances de gagner… donc il doit recevoir une plus grande part.
Deux méthodes, une même réponse
Pascal et Fermat trouvent chacun une manière différente de faire ce calcul.
Pascal procède pas à pas : il imagine que l’on joue une manche de plus, puis que l’on sait déjà comment partager équitablement les gains dans les deux cas possibles (selon qui gagne cette manche). Comme chaque joueur a une chance sur deux de gagner la manche suivante, il suffit alors de prendre la moyenne de ces deux répartitions. Ainsi en connaissant les cas simples (où le jeu est presque terminé), on peut remonter progressivement pour déterminer la solution dans les situations antérieures. En résumé l’argument de Pascal consiste à remonter dans le passé depuis les situations hypothétiques où l’un des deux joueurs a remporté le jeu.
Par exemple, dans le cas où la partie aurait été interrompue après une seule manche remportée par Pascal, où il manque donc 2 parties à gagner pour Pascal et 3 à Fermat, on lit au point (2,3) que Pascal doit recevoir 44€, et donc Fermat 20€.
Fermat adopte quant à lui une vue d’ensemble : il imagine tous les scénarios possibles et compte ceux où chaque joueur gagne (voir ici pour l'explication détaillée). Malgré leurs approches différentes, ils arrivent au même résultat. C’est un moment clé de l’histoire des mathématiques : ces idées vont donner naissance à la théorie des probabilités.
Retour au match d’échecs
Revenons à Karpov et Kasparov. Au moment de l’arrêt, Karpov mène 5 à 3. Il ne lui manque qu’une victoire, contre trois pour Kasparov. Si on applique la méthode de Pascal ou de Fermat, on peut estimer leurs chances de gagner : environ 87,5 % de chances pour Karpov et environ 12,5 % pour Kasparov. Le partage « juste » serait donc de donner la plus grande part à Karpov dans ces même proportions. Comme quoi, les mathématiques permettent de « régler ses comptes »… en 1654 comme en 1984 !
Mais est-ce vraiment réaliste ?
Ce modèle repose sur une hypothèse importante : chaque partie est vue comme un tirage au hasard, avec une chance sur deux pour chaque joueur. Or, dans la réalité, ce n’est pas si simple. Après 48 parties, Karpov est épuisé et Kasparov semble plutôt en meilleure forme et en pleine remontée. Les joueurs ne sont plus vraiment sur un pied d’égalité. Si l’on tient compte de ces éléments, les chances de Kasparov augmentent… et le partage devrait être différent (voir ici pour une modélisation plus représentative de la situation).
Mathématiques et justice
Le problème des partis montre une chose essentielle : la notion de « juste » dépend de la manière dont on modélise la situation. Les mathématiques apportent des outils puissants pour penser l’équité. Elles permettent de dépasser les intuitions parfois trompeuses et de proposer des solutions cohérentes. Mais elles reposent toujours sur des hypothèses.
Une question toujours actuelle
Aujourd’hui encore, ces idées sont utilisées dans de nombreux domaines : l’économie, les assurances, les jeux, les décisions publiques. Chaque fois qu’il faut répartir un risque, un gain ou une ressource, on retrouve cette même question : qu’est-ce qu’un partage équitable ? Et comme au temps de Pascal et Fermat, la réponse dépend autant des mathématiques… que de la manière dont on regarde le monde.
Auteur : Kévin Polisano, chercheur en mathématiques appliquées au CNRS et au LJK.
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